МАТЕМАТИЧНА ЕКСПЕРТИЗА ПІДСУМКОВИХ ПРОТОКОЛІВ

Володимир ВОЙТЕНКО,
професор;
Олександр ХОДЗІНСЬКИЙ,
кандидат фізико-математичних наук

Голосування, яке відбулося 17 січня, спричинило неоднозначні оцінки фахівців. Із одного боку, всі кандидати на посаду президента мали доступ до ЗМІ; нікого не блокували і не знищували засобами інформаційного кілерства. Це засвідчило реальні здобутки на шляху демократичних реформ. Закордонні спостерігачі відзначили цю обставину нам всім на радість. З іншого боку, організація процедури голосування в багатьох випадках була незадовільною — такою, яка, на думку багатьох вітчизняних фахівців, відкривала шлюзи для фальшування. Ідеться про реєстрацію виборців у день голосування та про фактично ніким і нічим не регламентоване голосування за межами виборчих дільниць. Журнал “Український тиждень” (2010, № 1—2) відтворив сім схем фальсифікації на виборах 2004 року і зазначив, що шість із них можуть мати застосування 2010-го. Це загалом є справою криміналістів.
Утім, маємо в руках метод математичної експертизи офіційних підсумків голосування, оголошених ЦВК. За допомогою експертних оцінок ми протягом багатьох років вивчаємо електоральні лабіринти — і, на жаль, виявляємо те, що математики називають аномаліями і за чим ховаються фальсифікації (див. зокрема “Голос України”, 2006, № 71 та 2009, № 245). До чого це спричинилося восени 2004 року, пам’ятають усі. Цікаво, що тієї осені виникла напруженість у підрахунку голосів під час перегонів Буш—Керрі; у США також скористались експертним алгоритмом і заспокоїлися: деяка аномальність протоколів була діагностована лише в одному штаті. Із 2009 р. в Інтернеті активно обговорюється засвідчена математичною експертизою сумнівність підсумку президентських виборів в Ірані.

1.

“Числа не урядують світом; вони лише показують, як таке урядування здійснюється”, — писав Ґете. Кожне число складається з цифр, як слово зі звуків (букв). Голосні й приголосні — дві категорії, на які поділяють складники слова мовознавці. Для математиків певним відповідником цього є числа парні та непарні (ті, що діляться й не діляться на 2). Число може мати скільки завгодно цифр (сто, мільйон, мільярд і т. д.), але його парність визначає остання цифра (вона має ділитися на 2 або дорівнювати 0). Зрештою, ми впізнаємо людей, почувши їхній голос по телефону (а криміналісти роблять це, маючи відбиток одного-єдиного пальця). Окрім класифікації окремого числа за ознакою парності, остання цифра дає змогу зробити певну оцінку сукупності чисел (числового масиву). Відомо, що парним (або непарним) є кожне друге число. Гортаючи книжку і помітивши, що кількість сторінок, позначених непарним числом, перевищує кількість парних більш ніж на одну, можна не сумніватися: типографський брак. Для цього діагнозу не маємо потреби читати весь текст і виявляти його нелогічності чи повтори. Свою “фішку” має і перша цифра; про її особливості йдеться під час діагностики виборчих фальсифікацій.
Почнемо — не дивуйтеся — з астрономії. В небі Північної та Південної півкуль налічується 86 сузір’їв, які ми можемо спостерігати неозброєним оком. Підрахуємо кількість зірок у кожному сузір’ї й подивимося на розподіл 86 перших цифр. Виявляється закономірність, яка в математиці має назву принцип Бенфорда: цифра 1 (і близькі до неї) зустрічається набагато частіше, ніж цифра 9 (і близькі до неї). Так, блок із трьох найменших перших цифр (1,2,3) включає 61 сузір’я, трьох проміжних (4,5,6) — 17 сузір’їв, блок трьох найбільших (7,8,9) — лише вісім зоряних скупчень. Сам Ф. Бенфорд (1938) підтвердив цю закономірність на 20 тисячах (!) числових масивів різноманітного походження. Їхньою головною ознакою є природність (naturalness). Природний числовий масив (ПЧМ) є таким тоді й тільки тоді, коли він відповідає двом вимогам: 1. Віддзеркалює процес чи явище, що не зазнали штучних (навмисних) регламентацій, а склалися відповідно до своєї внутрішньої логіки (“стихійно”, “самі по собі”); 2. Якщо протокол, у якому зафіксовано числа, позбавлений випадкових помилок чи навмисне не спотворений (фальсифікований). Якщо частість перших цифр відхиляється від формули Бенфорда за межі статистичної похибки, маємо підстави говорити про аномальність числового масиву. Ця закономірність, крім природних явищ, поширюється також на те, що пов’язане з діяльністю людини: ознаки ПЧМ мають “чесні” податкові декларації, характеристики структури і діяльності “правильних” банків і т. ін. (див. нашу публікацію в “Голосі України”, 2009, № 10). До ПЧМ належать і несфальшовані виборчі протоколи.

2.

Після оголошення 26 січня ц. р. підсумків першого туру президентських виборів ми з 18 індивідуальних електоральних здобутків зупинилися на восьми. Ідеться про кандидатів на посаду президента, імена яких загальновідомі: В. Януковича, Ю. Тимошенко, С. Тігіпка, А. Яценюка, В. Ющенка, П. Симоненка, В. Литвина та А. Гриценка. З експертної точки зору найінформативніші матеріали, які стосуються переможців: лідера опозиції та чинного прем’єр-міністра. По-перше, існування в Україні двох потужних політичних сил, які мають найбільшу підтримку виборців, але розмежовані географічно, дає змогу виокремити два електоральні макрореґіони і порівняти експертні матеріали щодо кожного з них. Макрореґіон А: 117 виборчих округів, у яких найбільше голосів набрав В. Янукович. Макрореґіон Б: 106 виборчих округів, у яких зафіксована перемога Ю. Тимошенко.
По-друге, йдеться про те, що рівень аномальності цифрограм двох переможців найвищий (точніше — фантастично високий) саме в них “удома”. Цифрограми електоральних здобутків ЯВФ та ТЮВ, сказати б, волають про аномальність і те, що за нею ховається. Порівнюючи рис. 1 і рис. 2, бачимо брак одиниць і двійок (котрим за формулою Бенфорда належать чільні місця), неприродно високі “горби” в середині цифрограм і набагато спокійніші “хвости”.
Увага! Верхню межу статистичної похибки, зумовленої випадковістю (чи несистемними помилками під час підрахунку бюлетенів або оформлення протоколів) визначає т. зв. критерій Пірсона. Ця межа не перевищує позначки 6 — відтак критерії на рівні 100 (цифрограма лідера опозиції), а тим більше 134 (цифрограма його опонентки) — унікальні з’яви, з якими нечасто стикаються навіть дослідники, фахово причетні до математичної статистики. Перевищуючи межу статистичної похибки в одному випадку в 16, а в іншому — в 20 разів, вони фактично однакові. В обох випадках імовірність того, що йдеться про випадковість, менша, ніж 1:1000000, а ймовірність того, що маємо справу з чимось гіршим, перевищує 999999:1000000. Багато важить інформація, про яку дізнаємося з цифрограм на рис. 3 і 4. Вони подібні, як близнюки: надмір одиниць, поміркований дефіцит трійок і довгий дрібнохвилястий “хвіст”, що загалом спричиняє критерій Пірсона, набагато менший ніж на рис. 1 і 2, але достатній, щоб не говорити про випадковість. А найголовніше те, що така цифрограма (ризикнемо назвати її портретом постраждалого) типова. Бачимо їй подібні — з невеликими варіаціями — на електоральних цифрограмах С. Тігіпка (в реґіонах А та Б), А. Яценюка (реґіон Б), В. Ющенка (реґіон А), В. Литвина (реґіон А), А. Гриценка (реґіон Б).
Якщо говорити про часткову подібність, зумовлену насамперед відсутністю виразного “горба” в середині цифрограми, то можемо до цього переліку долучити ще електоральні цифрограми А. Яценюка (реґіон А), П. Симоненка (реґіон Б) і А. Гриценка (реґіон А). У таблиці наводимо критерії Пірсона стосовно цифрограм шести кандидатів, розташувавши їх у порядку зростання аномальності (за сумою критеріїв у макрореґіонах А та Б).
Примітка. У всіх випадках критерій Пірсона перевищує рівень статистичної похибки.
Високий рівень аномальності разом зі специфічною формою цифрограм електоральних здобутків може свідчити, що С. Тігіпко, В. Яценюк, В. Ющенко, П. Симоненко, В. Литвин та А. Гриценко в макрореґіонах А і Б стали донорами голосів для переможців першого туру.

3.

Беручись до розмови про другий тур голосування, маємо усвідомлювати його соціально-психологічну відмінність від першого. Широкий вибір кандидатів на високу посаду є комфортним для більшості виборців — навіть для тих, кому подобаються вчорашні лідери. Вивівши саме таких до фіналу, Україна ще в першому турі програла президентські вибори 2010 року. Жорстка альтернативність другого туру провокує залишкові стереотипи “совка”, змушуючи його не просто обирати “свого”, а “битися за перемогу”. Некритична підтримка “єдиного” (до 90 % за) може спричинятися до того, що електоральний числовий масив відхиляється від умов природності, а цифрограма набуває більших чи менших ознак аномальності. Важливо й те, що психологічна налаштованість виборців сприяє їхній участі у фальсифікаціях; як показують підсумки першого туру, свідчення цього бачимо у всіх реґіонах держави.
Шукаючи історичних аналогій, ми натрапили на цікаве і забуте українське слово. Читаймо разом тлумачний словник (уклад. В. Яременко, О. Сліпушко, 2004, Т. 3, с. 720): “Хрунь — 1. Свиня. 2. В Галичині — виборець, який продавав свій голос”. Про Галичину йдеться тому, що вона була репрезентована в парламенті Австро-Угорщини (і на епоху раніше Наддніпрянської України долучилася до переваг і вад виборчої системи).
За браком місця утримуючись від розгляду цифрограм, резюмуємо підсумки їхньої математичної експертизи (критерії Пірсона) в таблиці 2.
По-перше, маємо високі й майже однакові показники аномальності цифрограм кожного кандидата в “своєму” макрореґіоні (які в 13—14 разів перевищують статистичну похибку). По-друге, бачимо виразну асиметрію (11,5 проти 41,3) аномальності електоральних здобутків ТЮВ і ЯВФ на “чужих” територіях.
Чи можна хоч якось зазирнути “за спину” того Пірсона: що означає чотири табличні числа, якщо аналізувати їх сукупно, а не нарізно? Однозначної відповіді немає. Робоча гіпотеза полягає в тому, що те “втручання у виборчий процес”, яке спричинило аномальність цифрограм, в макрореґіонах А і Б мало різну методику. Якщо для пані прем’єр-міністра донором голосів у якийсь спосіб стали насамперед електоральні надбання лідера опозиції; якщо голоси за останнього поповнювались переважно за допомогою “мертвих душ”; чи тих, що оголосили себе хворими; чи тих, хто голосував більше одного разу; чи тих, хто, не голосувавши жодного разу, кинув напризволяще свій бюлетень. Якщо все відбувалося саме так (а це гіпотеза), то експертна таблиця другого туру має бути саме такою, якою вона є.
ТЮВ у судовому чи іншому порядку має право запитати ЯВФ, “откуда дровишки”, але в свою чергу мусить відповісти йому на таке саме запитання. Усіх цікавить кількість голосів, здобутих неджентльменським способом. Експертиза за Бенфордом прямої відповіді на це запитання не дає. Загальна кількість набраних голосів і цифрограма ніяк не пов’язані між собою за нормального перебігу голосування. Якщо мало місце фальшування, показники аномальності (“якість”) пропорційні незаконним електоральним втратам чи здобуткам (“кількість”). Проста аналогія: той, хто під час  зважування 200 г ковбаси вкрав 100 г, робить свою маніпуляцію дуже помітною, але може зробити це безкарно, зважуючи 1 кг. І навпаки: той, хто додає 100 г до власних 100 г, помітно багатіє, але додавши 100 г до 1 кг, може лишитися непоміченим. Отже, величина критеріїв Пірсона залежить від співвідношення того, “скільки було” і “скільки стало”. Комбінація різних варіантів “було/стало” робить фактично неможливою надійну оцінку втрачених чи здобутих голосів під час фальшування; кожний дослідницький метод має межу інформативності.
Якщо йдеться про опосередковані оцінки, пошлемося на статтю І. Ведерникової (“Дзеркало тижня”, 2010, № 1). Як відомо, прихильники Ю. Тимошенко підкреслюють її вміння організовувати “прорив” і в процесі виборів набирати більше голосів, ніж пророкують соціологічні опитування. Коментуючи цю ситуацію після розмови з головою компанії “Соціс” М. Чуриловим, І. Ведерникова його цитує: “Цікавим у цьому контексті може здаватися спостереження глави “Соцісу”, який, коментуючи прорив БЮТ-2007, підмітив одну деталь: “Намагаючись розгадати цей феномен, ми кілька років у всіх дослідженнях ставимо запитання, за яку партію голосував громадянин на парламентських виборах 2007-го. Цікаво, що відсотки тих, хто згадав назву НУ-НС, ПР, КПУ, Блоку Литвина, збігаються, а ось БЮТ не добирає 5—7 %”. Зауважимо, що цифрограма електоральних здобутків БЮТ на парламентських виборах 2007 р. має аномальність на рівні 51,1 (“Голос України”, 2009, № 245). Ще одну оцінку можливого внеску фальсифікацій у виборчий капітал, посилаючись на колишнього реґіонала В. Кисельова, дає “Український тиждень” (2010, № 4): +12—15 % за допомогою голосування вдома.

4.

Вибори без вибору — безумовне соціально-політичне зло, а електоральні фальшування відіграють у цьому не останню роль. Тіньова політика — різновид тіньової економіки і майже завжди спирається на корупційні гроші. Ці гуманітарні абстракції реалізують конкретні люди у конкретних містах і селах, але принципи судочинства вимагають, щоб кожного ловили за руку. Фіксуючи наявність аномалії/фальшування і за допомогою непрямих доказів виявляючи крадія, лишаємо його в доброму гуморі: на кримінал експертиза сама по собі не “тягне”, а мораль, етика і суспільна легітимність важливі не для всіх.
Авторів принцип Бенфорда цікавить як феномен чистої математики. Цьому присвячена наша брошура (Київ, 2000. — 62 с.), у якій немає жодної згадки про електоральні проблеми. Проте практичне використання аналізу цифрограм не суперечить академічній науці.
Узагальнюючи проведені дослідження, можемо сформулювати такі висновки:
1. Надвисокий рівень математичних аномалій в офіційних протоколах переможців у макрореґіонах А і Б дає підстави для припущення про фальсифікації як один із чинників електоральних здобутків В. Януковича та Ю. Тимошенко в першому і другому турах голосування.
2. Заяви незалежних спостерігачів про демократичний характер наших виборів засвідчують насамперед зовнішні ознаки роботи на виборчих дільницях і, на жаль, лишають поза увагою те, що діялося “в тіні”.
3. Перебуваючи поза політикою, ми, виконавці експертного дослідження, водночас не можемо вважати морально легітимним майбутнього президента України.

Поділись і насолодись:
  • Blogosvit
  • del.icio.us
  • Надішли другу посилання на статтю електронною поштою!
  • Facebook
  • Google
  • LinkedIn
  • MyNews
  • Роздрукуй на пам’ять!
  • Technorati
  • TwitThis

Related posts

Leave a Comment